评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是1。根据题目，需要计算函数\(u(x,y,z)=xy^{2}z^{3}\)在点(1,1,1)处沿方向\(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\)的方向导数。方向导数的计算公式为\(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}} = \nabla u \cdot \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|}\)。

首先计算梯度\(\nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right) = (y^2 z^3, 2xy z^3, 3xy^2 z^2)\)。在点(1,1,1)处，\(\nabla u(1,1,1) = (1, 2, 3)\)。

然后计算方向向量\(\boldsymbol{n}\)的单位向量：\(\|\boldsymbol{n}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3\)，所以单位向量为\(\frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} = \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)\)。

最后计算点积：\(\nabla u(1,1,1) \cdot \frac{\boldsymbol{n}}{\|\boldsymbol{n}\|} = (1, 2, 3) \cdot \left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

学生的答案与标准答案一致，因此得5分。

题目总分：5分