评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一次识别结果未包含第(1)问，但第二次识别结果完整解答了第(1)问。学生正确建立了微分方程 \(x = y - xy'\)，并化为标准形式 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)，正确使用积分因子法求解得到通解 \(y = x(C - \ln x)\)，并利用初始条件 \(y(e^2) = 0\) 确定常数 \(C = 2\)，最终得到正确结果 \(y(x) = x(2 - \ln x)\)。整个过程逻辑清晰，计算正确，因此第(1)问得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生两次识别结果均完整解答了第(2)问。学生正确求出导数 \(y'(x) = 1 - \ln x\)，建立切线方程，正确求出在坐标轴上的截距：X轴截距为 \(x + \frac{y}{\ln x - 1}\)，Y轴截距为 \(y + x(\ln x - 1)\)。虽然表达式形式与标准答案略有不同，但经过化简验证，实质上是等价的。学生正确建立面积函数 \(S(x) = \frac{x^2}{2(\ln x - 1)}\)，求导正确，找到驻点 \(x = e^{\frac{3}{2}}\)，通过导数符号分析确定最小值点，正确计算最小面积 \(e^3\) 和对应点的坐标 \((e^{\frac{3}{2}}, \frac{1}{2}e^{\frac{3}{2}})\)。整个过程思路正确，计算准确，因此第(2)问得满分5分。

题目总分：5+5=10分