评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

第1次识别结果中，学生给出的矩阵A为 \(\begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\0&0&-1\end{pmatrix}\)，但第三行应为 \(x_2 - x_3\)，学生误写为 \(x_3 - x_4\) 并错误推导出第三行为 \((0,0,1,-1)\)，最终得到错误矩阵。第2次识别结果中，学生正确写出 \(A = \begin{pmatrix}1&1&1\\2&-1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}\)，与标准答案一致。根据“两次识别中只要有一次正确则不扣分”的原则，本题不扣分，得4分。

（2）得分及理由（满分8分）

特征值计算：两次识别均正确得到特征值 \(\lambda_1 = -2, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 2\)，与标准答案一致，不扣分。

特征向量计算：对于 \(\lambda_1 = -2\)，两次识别均正确得到特征向量 \((0,1,-1)^T\)；对于 \(\lambda_3 = 2\)，两次识别均正确得到特征向量 \((4,3,1)^T\)。但对于 \(\lambda_2 = -1\)，第1次识别得到 \((1,0,-2)^T\)，第2次识别也得到 \((1,0,-2)^T\)，而标准答案为 \((-1,0,2)^T\)。这两个向量仅差一个常数倍（-1倍），属于同一特征向量空间，因此本质正确，不扣分。

矩阵P和对角矩阵Λ：第1次识别中，P的列向量顺序为 \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\) 对应特征值 \(-2, -1, 2\)，但Λ写为 \(\begin{pmatrix}-2&-1\\&2\end{pmatrix}\)，形式不完整且未明确对角元素顺序，存在表达不严谨。第2次识别中，P的列向量顺序相同，但Λ明确写为 \(\begin{pmatrix}-2&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\)，与P的列向量顺序匹配，且与标准答案的Λ仅在元素顺序上不同（标准答案为 \((-1,-2,2)\) 顺序），但特征值顺序不影响对角化本质，因此不扣分。综合两次识别，核心逻辑正确，得8分。

题目总分：4+8=12分