评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是5/9，而标准答案是5/8。首先，我们需要计算条件概率 \( P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) \)。根据条件概率的定义，这等于 \( \frac{P((B \cup C) \cap (A \cup B \cup C))}{P(A \cup B \cup C)} \)。由于 \( B \cup C \) 是 \( A \cup B \cup C \) 的子集，分子简化为 \( P(B \cup C) \)。因此，问题转化为计算 \( \frac{P(B \cup C)}{P(A \cup B \cup C)} \)。

已知 \( P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3} \)，且A与B互不相容，A与C互不相容，B与C相互独立。首先计算 \( P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{6}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \)。

接下来计算 \( P(A \cup B \cup C) \)。由于A与B互不相容，A与C互不相容，但B与C相互独立，且A可能与B和C有交集（尽管互不相容意味着交集为空），但需注意A、B、C之间并非完全独立。使用容斥原理： \( P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(A \cap C) - P(B \cap C) + P(A \cap B \cap C) \)。由于A与B互不相容，A与C互不相容，所以 \( P(A \cap B) = 0 \)，\( P(A \cap C) = 0 \)。B与C相互独立，所以 \( P(B \cap C) = \frac{1}{9} \)。另外，由于A与B和C互不相容，A ∩ B ∩ C 必为空集，所以 \( P(A \cap B \cap C) = 0 \)。因此， \( P(A \cup B \cup C) = \frac{1...