评分及理由

（1）必要性证明部分得分及理由（满分6分）

学生作答中，必要性证明部分存在严重逻辑错误。首先，由$f''(x) \geq 0$不能直接推出$\frac{f(b)+f(a)}{2} \geq f(\frac{a+b}{2})$，这个结论需要函数是凸函数（即$f''(x) \geq 0$）才能成立，但学生没有给出证明过程就直接使用了。其次，学生错误地使用了积分中值定理，写成$\int_a^b f(x)dx = (b-a)f(\xi)$，这要求$f(x)$在$[a,b]$上连续，虽然题目条件满足，但这里的$\xi$是使得$f(\xi)$等于函数平均值的点，而学生前面定义的$\xi$是使得$f(\xi) = \frac{f(a)+f(b)}{2}$的点，这两个$\xi$不是同一个点，这里出现了逻辑混淆。因此必要性证明部分存在根本性错误，得分0分。

（2）充分性证明部分得分及理由（满分6分）

学生作答中完全没有涉及充分性的证明，即没有证明"若对任意$a,b$有$f(\frac{a+b}{2}) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx$，则$f''(x) \geq 0$"。根据题目要求，这是一个双向证明题，充分性证明占一半分数。由于学生完全没有证明充分性，这部分得0分。

题目总分：0+0=0分