评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"1-lncos1"，而标准答案是"-ln cos1"。

首先计算原积分：

$$\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{1} \tan x dx = \int_{0}^{1} [-\ln|\cos x|]_{y}^{1} dy$$

$$= \int_{0}^{1} (-\ln|\cos 1| + \ln|\cos y|) dy$$

$$= -\ln|\cos 1| \cdot 1 + \int_{0}^{1} \ln|\cos y| dy$$

$$= -\ln|\cos 1| + \int_{0}^{1} \ln|\cos y| dy$$

学生答案中的"1"项可能来自于错误地计算了$\int_{0}^{1} dy = 1$，但实际上这个积分应该与后面的项结合计算。

正确的计算应该是：

$$\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \tan x dx dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \tan x dy dx$$

$$= \int_{0}^{1} x \tan x dx$$

或者直接计算得到最终结果就是$-\ln\cos 1$。

学生答案中多了一个"1"项，这是明显的逻辑错误，因此不能给满分。

考虑到学生正确识别出了$\ln\cos 1$项，只是多了一个错误的常数项，给2分。

题目总分：2分