评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 -1/2，而标准答案是 1。首先分析题目条件：由极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln[f(x+1)+e^{x^2}]}{x} = 1\) 可知，当 \(x \to 0\) 时，分子 \(\ln[f(x+1)+e^{x^2}] \to 0\)，因此 \(f(1)+1 = 1\)，即 \(f(1) = 0\)。进一步，利用等价无穷小与导数定义可得 \(f'(1) = 1\)。

所求极限为 \(\lim_{x \to 0} \frac{f[(1+\tan x)^2] - f(1+\tan x)}{x}\)。令 \(t = \tan x\)，则当 \(x \to 0\) 时 \(t \to 0\)，且 \((1+t)^2 - (1+t) = t + t^2\)。利用微分中值定理或泰勒展开，该极限可化为 \(f'(1) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{(1+\tan x)^2 - (1+\tan x)}{x}\)。计算得 \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x + \tan^2 x}{x} = 1\)，因此极限值为 \(f'(1) \times 1 = 1\)。

学生答案 -1/2 与正确结果 1 不符，存在计算错误或逻辑错误，因此得分为 0 分。

题目总分：0分