评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生的最终答案正确，得到 \(dg(x,y)|_{(1,1)} = 4dx\)，与标准答案一致。
• 但是学生的解题过程存在逻辑错误：在计算偏导数时，错误地将 \(f(e^{x-y}, xy)\) 直接替换为 \(e^{2(x-y)} + x^2y^2 - 2\)，这是对题目中给出的 \(f(x,y)\) 在 \((1,1)\) 邻域内表达式的误解。题目中给出的是 \(f(x,y) = e^{x^2+y^2-2} + o(\rho)\)，而不是 \(f(e^{x-y}, xy) = e^{2(x-y)} + x^2y^2 - 2 + \cdots\)。学生错误地进行了变量替换，导致推导过程不正确。
• 尽管过程有误，但最终结果正确，可能是巧合或通过其他途径得到。根据评分标准，逻辑错误需要扣分，因此扣2分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：0分

理由：

• 学生的最终答案错误，得到极限为0，而标准答案为4。
• 学生的解题过程存在多处逻辑错误：
  • 错误地将 \(g(1,1-\tan t)\) 写为 \(g(1,1) - \tan t\)，这是对函数符号的严重误解。
  • 在计算极限时，错误地使用了 \(g(x,y) = e^{2(x-y)} + x^2y^2 - 2\) 这一表达式，这与（Ⅰ）中的错误一致。
  • 在泰勒展开和极限计算过程中，出现了多项错误，如错误地合并项、忽略高阶无穷小等，导致最终结果错误。
• 由于过程与结果均错误，且没有正确的解题思路，因此得0分。

题目总分：4+0=4分