评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确求解了函数表达式 \( f(x) = (1+x)^{1+\frac{1}{x}} \)，并计算了一阶导数和二阶导数。通过分析 \( g(x) = (1+x)\ln^2(1+x) - x^2 \) 的二阶导数 \( g''(x) < 0 \) 得出 \( g(x) < 0 \)，从而证明 \( f''(x) < 0 \)，说明 \( f(x) \) 是凸函数。证明过程完整且逻辑正确。但存在一处错误：在求一阶导数时，方法一的结果 \( f'(x) = (1+x)^{1+\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\ln(1+x) + \frac{1}{x}\right) \) 与标准答案形式不同，但经化简可验证等价（标准答案为 \( \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} \)，而学生结果为 \( \frac{1}{x} - \frac{\ln(1+x)}{x^2} = \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} \)），因此不扣分。但在二阶导数推导中，学生直接给出 \( f''(x) = e^{(1+\frac{1}{x})\ln(1+x)} \cdot \frac{1}{x^4} \left( [\ln(1+x)]^2 (1+x) - x^2 \right) \)，未展示完整推导步骤，但结论正确。考虑到核心证明逻辑无误，扣1分（步骤不完整）。得5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生构造了 \( h(x) = \frac{f(x)}{1+x} + \frac{f(1/x)}{1+1/x} = (1+x)^{1/x} + (1+1/x)^x \)，但未利用凸函数性质进行不等式推导。错误地转向分析 \( f(x) \) 的单调性，声称 \( f'(x) < 0 \) 且 \( f(x) \leq f(0^+) \)，但实际 \( f'(x) \) 的符号需验证（标准答案中未直接给出单调性），且 \( f(0^+) = e^2 \approx 7.389 \)，与目标不等式无关。学生未建立 \( h(x) \leq 4 \) 的结论，也未求出 \( a \) 的最小值。思路偏离标准方法，且未完成题目要求。扣6分（未正确解答）。得0分。

题目总分：5+0=5分