评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答中，第2次识别结果基本正确，但存在一些书写和表达问题。具体分析如下：

• 积分区域转换正确：从极坐标区域 \(D=\{(r,\theta) | 0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\}\) 转换为直角坐标区域 \(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq x\)，这一步正确。
• 被积函数转换：在极坐标转直角坐标过程中，第2次识别中写为 \(y\sin\sqrt{1 - r^{2}}\)，这显然是识别错误或书写错误，应为 \(r^2 \sin \theta \sqrt{1 - r^2 \cos 2\theta}\)，但后续步骤中实际使用了正确的表达式 \(y\sqrt{1 - x^2 + y^2}\)，因此判断为误写，不扣分。
• 积分顺序转换：正确地将二重积分化为直角坐标下的累次积分 \(\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}y\sqrt{1 - x^{2}+y^{2}}dy\)。
• 内层积分计算：正确计算 \(\int_{0}^{x}y\sqrt{1 - x^{2}+y^{2}}dy = \frac{1}{3}[1 - (1 - x^2)^{3/2}]\)。
• 外层积分计算：正确得到 \(I = \frac{1}{3}\int_{0}^{1}[1 - (1 - x^2)^{3/2}]dx\)。
• 计算 \(\int_{0}^{1}(1 - x^2)^{3/2}dx\) 时，正确使用代换 \(x = \sin t\)，得到 \(\int_{0}^{\pi/2} \cos^4 t dt = \frac{3\pi}{16}\)。
• 最终结果正确：\(I = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{16}\)。

尽管第1次识别结果中存在一些错误（如被积函数写错、积分顺序混乱），但第2次识别结果基本正确，且最终答案与标准答案一致。根据评分要求，对于识别错误导致的书写问题不扣分，核心逻辑正确。因此，本题得分11分。

题目总分：11分