评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 -1，与标准答案一致。

本题是填空题，要求计算 \(tr(A^{-1})\)。根据题目描述，已知矩阵是通过对原矩阵 A 进行两次初等变换得到的：先交换 A 的第 2 行和第 3 行，再将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列。设得到的矩阵为 B，则有 \(B = E_2 E_1 A F_1\)，其中 \(E_2\) 是交换第 2、3 行的初等矩阵，\(E_1\) 是单位矩阵（因为第一步是行变换，第二步是列变换，列变换对应右乘初等矩阵），实际上更准确的表达是：设行变换对应的初等矩阵为 P，列变换对应的初等矩阵为 Q，则 \(B = P A Q\)。这里 P 是交换第 2、3 行的初等矩阵，Q 是将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列的初等矩阵。

由 \(B = P A Q\) 可得 \(A = P^{-1} B Q^{-1}\)。因为 P 是交换两行的初等矩阵，所以 \(P^{-1} = P\)；Q 是将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列的初等矩阵，其逆矩阵是将第 2 列的 1 倍加到第 1 列（即撤销原操作）。

于是 \(A^{-1} = (P^{-1} B Q^{-1})^{-1} = Q B^{-1} P\)。

因此 \(tr(A^{-1}) = tr(Q B^{-1} P)\)。利用迹的循环置换性质，\(tr(Q B^{-1} P) = tr(B^{-1} P Q)\)。

已知 \(B = \begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)，可以计算 \(B^{-1}\)，然后计算 \(P Q\) 等，但更简单的方法是注意到初等行、列变换对逆矩阵的迹的影响可以通过行列式、伴随矩阵等关系分析。

实际上，更直接的方法：设列变换对应的初等矩阵为 \(F\)（即 \(F\) 是将第 2 列的 -1 倍加到第 1 列的初等矩阵，\(F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)），行变换对应的初等矩阵为 \(E\)（交换第 2、3 行，即 \(E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ ...