评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生使用反证法证明：假设f(x)在[0,1]上单调递增，则∫₀¹f(x)dx < ∫₀¹f(1)dx = 1，与已知条件∫₀¹f(x)dx = 1矛盾，因此f(x)在[0,1]上不单调。然后由f(x)具有二阶导数，得到f(x)、f'(x)连续，从而得出存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=0。

这个证明思路基本正确，但存在以下问题：

1. 从"f(x)不单调"不能直接推出"存在ξ∈(0,1)使得f'(ξ)=0"，需要补充说明：由于f(0)=0，f(1)=1，且f(x)不单调，所以f(x)在[0,1]上必有极值点，在该点处导数为0。
2. 学生额外提到"f'(x)在ξ左右变号"，这是不必要的，题目只要求证明存在点使得f'(ξ)=0。

考虑到核心思路正确，但论证不够严谨，扣1分。

得分：4分

（II）得分及理由（满分6分）

学生完全没有证明第二部分，没有给出任何关于存在η∈(0,1)使得f''(η)<-2的证明。

得分：0分

题目总分：4+0=4分