评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生答案中关于第（Ⅰ）问的解答存在多处错误：

1. 极坐标转换错误：学生给出的极坐标上限为 \(\frac{6\cos\theta\sin\theta}{\cos^2\theta+\sin^2\theta}\)，但标准答案应为 \(\frac{6\sin\theta\cos\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\)，分母的指数错误导致整个积分表达式错误。
2. 面积计算过程错误：学生计算 \(\iint_D 1dxdy\) 时，错误地使用了 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) 进行简化，得到 \(18\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2(2\theta)}{4}d\theta\)，这与标准答案的积分形式完全不符。
3. 换元积分错误：学生后续的换元 \(t=\tan\theta\) 和积分计算均基于错误的表达式，导致最终结果错误。

由于核心的极坐标转换和积分表达式均错误，且未能得到正确面积值6，故本小题得0分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生答案中关于第（Ⅱ）问的解答存在以下问题：

1. 积分对象错误：题目要求计算形心横坐标相关的积分 \(\iint_D y dxdy\)，但学生计算的是 \(\iint_D xy dxdy\)，这是完全不同的积分量。
2. 极坐标转换错误：与第（Ⅰ）问相同，极坐标上限错误，导致积分表达式错误。
3. 积分计算过程混乱：学生的计算过程中出现了 \(\int_0^{+\infty}\frac{t^4}{(1+t)^4}dt\)、\(\int_0^{+\infty}\frac{x^3}{(x^2+1)^3}dx\) 等多种不同形式的积分，且推导过程缺乏逻辑连贯性。
4. 最终结果错误：学生得到 \(\iint_D xy dxdy = 4a\)，但根据形心公式，应有 \(\iint_D y dxdy = 6a\)，且目标积分应为 \(\frac{a}{12}\)。

由于积分对象选择错误，且整个计算过程基于错误的表达式，未能建立正确的积分关系，故本小题得0分。

题目总分：0+0=0分