评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中，首先定义了函数 \( g(x) = \frac{1}{\arcsin x} - \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \)，这与标准答案中的函数定义一致。然后通过极限计算和单调性分析来证明不等式。具体分析如下：

• 学生正确计算了 \( \lim_{x \to 0^+} g(x) = 0 \)，并使用了洛必达法则，尽管步骤中有些表达式书写不规范（如极限计算中的分母处理），但核心逻辑正确，且最终结果与标准答案一致。
• 学生试图通过单调性证明 \( g(x) \) 在区间内单调递增，但引入的辅助函数 \( h(x) = \sqrt{1 - x^2} - 1 \) 与证明 \( g(x) \) 单调性无关，属于逻辑错误。标准答案中通过求导证明单调性，而学生未正确计算 \( g'(x) \) 或通过等价变换证明单调性。
• 学生最后得出 \( \lim_{x \to 0^+} g(x) < g(x) \leq g\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{2}{\pi} \)，但 \( g\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) 的值计算错误（应为 \( g(1) = \frac{2}{\pi} \)），且未说明单调性证明的完整性。

综上，学生正确完成了函数定义和极限计算部分（占6分），但在单调性证明和右端点值计算上存在逻辑错误（各扣2分），因此得分：6分（极限部分）+ 0分（单调性部分）+ 0分（右端点部分）= 6分。

题目总分：6分