评分及理由

（1）定义与变换部分（满分2分）

学生正确定义了函数 \( g(x) = \frac{1}{\arcsin x} - \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \)，并尝试进行通分处理，但未采用变量代换 \( t = \arcsin x \) 简化问题。此处思路与标准答案不同但合理，不扣分。得2分。

（2）单调性证明部分（满分4分）

学生引入 \( h(x) = \arcsin x \) 和 \( k(x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} - 1 \)，并声称 \( k(x) > 0 \) 且单调递增，但未给出严格证明。最关键的是，学生错误地通过 \( h(0) > k(0) \) 和单调性直接推出 \( g(x) > 0 \) 和 \( g(x) \) 单调递增，这一推理逻辑混乱且缺乏依据（例如 \( h(0) = 0 \)，\( k(0) \) 未定义，且 \( g(x) \) 的单调性需要导数分析）。此处存在严重逻辑错误，扣4分。得0分。

（3）极限计算部分（满分4分）

学生在计算 \( \lim_{x \to 0^+} g(x) \) 时，第一步通分正确，但在第二步错误地将分母中的 \( \arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} \) 替换为 \( x \cdot x \)（即 \( x^2 \)），未说明等价无穷小替换的合理性（实际上 \( \arcsin x \sim x \)，但 \( \sqrt{1-x^2} \to 1 \)，正确分母应为 \( x \cdot x \cdot 1 = x^2 \)，但学生未明确说明）。后续求导过程中，分子求导出现错误：对 \( x - \arcsin x \cdot \sqrt{1-x^2} \) 求导，第一项导数为1，第二项需用乘积法则，学生计算为 \( 1 - \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x \cdot \arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} \)，其中 \( \frac{\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} = 1 \)，但实际第二项求导结果应为 \( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \sqrt{1-x^2} - \arcsin x ...