评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“1/3”。

首先，题目给出的线性方程组有解，意味着系数矩阵与增广矩阵的秩相等。已知行列式条件：

\[ \begin{vmatrix} a & b & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \]

这个行列式可以看作是由原方程组的系数矩阵和右端向量构成的某种扩展矩阵的行列式。通过行列式的性质，可以将最后一列（即右端向量）的线性组合加到前几列，或者利用行列式展开定理，将4阶行列式与3阶行列式联系起来。

具体地，将第4列乘以适当系数加到前3列，或者按第4列展开，可以得到：

\[ \begin{vmatrix} a & b & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = (-1) \times C_{14} + (-2) \times C_{24} + (-3) \times C_{34} + 2 \times C_{44} \]

其中 \(C_{ij}\) 是代数余子式。经过计算（或利用行列式分块性质），可以得出该4阶行列式与所求的3阶行列式 \(\begin{vmatrix} a & b & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}\) 之间的关系。

实际上，通过计算可得：

\[ \begin{vmatrix} a & b & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & -3 \\ -1 & -2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} - 1 \]

已知左边等于1，代入得：

\[ 2 \times D - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad 2D = 2 \quad \Rightarrow \quad D = 1 \]

其中 \(D = \begin{vmatrix} a & b & 0 \\ 3 & ...