评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生答案在（Ⅰ）部分存在逻辑错误。首先，学生通过递推式得到 \(a_n - a_{n-1} = \frac{n-1}{n}(1 - a_{n-1})\)，并指出当 \(a_{n-1} > 1\) 时数列单调递减，当 \(a_{n-1} < 1\) 时单调递增。但学生直接断言“因为 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{a_{n-1}}{n} + 1 \geq 1\)，所以 \(\{a_n\}\) 为递减数列”，这里的推理不严谨。极限表达式 \(\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{a_{n-1}}{n} + 1\) 写法有误，应为取极限后的方程，且未严格证明数列单调性和有界性（如下界为1）。标准答案使用数学归纳法证明下界和单调性，学生未提供完整证明，仅凭直觉断言。此外，学生设极限为 \(a\) 后解方程 \(a = \frac{a}{n} + \frac{n-1}{n}\) 时，未正确取极限（方程中仍含 \(n\)），导致推导错误。因此，本部分扣3分，得3分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生答案在（Ⅱ）部分思路正确。学生从递推式推导出 \(n(a_n - 1) = a_{n-1} - 1\)，并进一步得到 \(a_n - 1 = \frac{1}{n!}\)，从而 \(a_n = 1 + \frac{1}{n!}\)，这与标准答案一致。在求和函数部分，学生写出 \(S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (1 + \frac{x^n}{n!}) = \frac{1}{1-x} + e^x\)，结果正确，但求和表达式书写有误（应为 \(\sum_{n=0}^{\infty} (1 + \frac{1}{n!}) x^n\)，但学生意图明确）。由于核心计算和最终答案正确，且思路与标准答案不同但有效，本部分不扣分，得6分。

题目总分：3+6=9分