评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别出特征值λ₁=λ₂=1和λ₃=4，并正确写出特征向量α=(1,1,1)ᵀ。在寻找与α正交的特征向量时，第一次识别结果中α₁=(-1,0,0)ᵀ与α不正交，第二次识别结果中α₁=(-1,0,1)ᵀ与α正交，但α₂=α×α₁的计算方法错误（特征向量不是通过向量积获得）。

学生最终得到了正确的矩阵A=[[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]]，但正交矩阵Q的构造存在错误，Q⁻¹的计算也不正确。考虑到学生最终得到了正确的A，且主要思路正确，但特征向量求解和正交化过程有缺陷。

扣分：特征向量求解方法错误（-2分），正交矩阵构造错误（-1分），Q⁻¹计算错误（-1分）。

得分：6-2-1-1=2分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生尝试对分块矩阵进行变换，但变换过程不完整且存在错误。第一次识别结果为|A -X; Xᵀ 0| = |A -X; 0 XA⁻¹Xᵀ|，第二次识别结果类似。这既不是正确的初等变换形式，也没有完成化简过程。

学生没有识别出f(x₁,x₂,x₃)实际上是XᵀA*X的形式，也没有进行正交变换化为标准形的完整过程。

扣分：分块矩阵变换错误（-2分），未识别出A*的形式（-2分），未完成正交变换过程（-2分）。

得分：6-2-2-2=0分

题目总分：2+0=2分