评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生答案中给出的 \( f_2(x) = 2x e^{-x} \) 和 \( f_3(x) = 3x e^{-x} \) 是错误的。正确解法应使用卷积公式计算独立随机变量和的分布。对于 \( Y_2 = X_1 + X_2 \)，其中 \( X_i \) 独立同分布，概率密度为 \( f(x) = x e^{-x} \)（\( x > 0 \)），卷积结果为 \( f_2(x) = \frac{1}{6} x^3 e^{-x} \)（\( x > 0 \)）。类似地，\( f_3(x) = \frac{1}{120} x^5 e^{-x} \)（\( x > 0 \)）。学生答案未使用卷积公式，直接给出错误表达式，属于逻辑错误。但考虑到第（Ⅰ）部分可能分值为6分（根据题目总分12分及两部分内容分配），扣除此部分全部分数。

得分：0分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别出 \( Y = \max\{X_1, X_2, X_3\} \)，并使用了独立随机变量最大值的分布函数公式 \( F_Y(y) = [F_X(y)]^3 \)。然而，在计算 \( F_X(y) \) 时出现错误：学生给出 \( F_X(y) = 1 - e^{-y} \)，但正确分布函数应为 \( F_X(y) = 1 - (1 + y) e^{-y} \)（\( y > 0 \)）。因此，后续推导的概率密度函数 \( f_Y(y) = 3e^{-y}(1 - e^{-y})^2 \) 也是错误的。正确结果应为 \( f_Y(y) = 3y e^{-y} [1 - (1 + y) e^{-y}]^2 \)（\( y > 0 \)）。思路正确但关键计算错误，扣分。

得分：3分（思路正确但分布函数计算错误，扣除一半分数）

题目总分：0+3=3分