评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别出使积分最大的区域是圆盘 \(x^2 + y^2 \leq 4\)，并正确计算了积分值 \(8\pi\)。计算过程清晰，使用极坐标转换正确。因此得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生在第二部分存在以下问题：

1. 偏导数计算出现错误：在计算 \(\frac{\partial Q}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial P}{\partial y}\) 时，表达式复杂且与标准答案不符，存在计算错误。
2. 虽然学生正确判断了偏导数相等（从而得出被积函数在区域内除原点外保守），但未明确说明在原点处有奇点，也未引入辅助曲线 \(L_0\) 来应用格林公式。
3. 学生直接令 \(x^2 + 4y^2 = \varepsilon^2\) 并计算曲线积分，但未说明该曲线与 \(D_1\) 边界的关系，且计算过程中面积计算有误（椭圆面积应为 \(\pi \cdot \varepsilon \cdot \frac{\varepsilon}{2} = \frac{\pi \varepsilon^2}{2}\)，但学生写为 \(\pi \times \frac{\varepsilon}{2} \times \varepsilon\)，结果正确但表述不严谨）。
4. 最终结果正确（\(-\pi\)），但推导过程存在逻辑跳跃和计算错误。

由于存在明显的偏导数计算错误和逻辑不严谨，扣3分。得3分。

题目总分：6+3=9分