评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

第1次识别：

• 特征多项式计算有误，行列式展开错误，但特征值结果正确（λ₁= a-1, λ₂= a-1, λ₃= a+2），扣1分。
• 特征向量：λ=a-1时，ξ₁=(-1,1,0)ᵀ正确，ξ₂=(1,0,1)ᵀ正确；但λ=a+2时，ξ₃=(4,1,-1)ᵀ错误（应为(-1,-1,1)ᵀ），扣1分。
• 正交化过程：η₂计算正确，但单位化后的P矩阵符号和顺序有误（如第三列应为(-1/√3, -1/√3, 1/√3)），且未验证PᵀAP是否为对角矩阵，扣1分。
• 得分：6 - 1 - 1 - 1 = 3分。

第2次识别：

• 特征多项式计算有误（行列式元素错误），但特征值结果正确，扣1分。
• 特征向量：λ=a-1时，ξ₁=(-1,1,0)ᵀ和ξ₂=(1,0,1)ᵀ正确；λ=a+2时，ξ₃=(1,1,-1)ᵀ错误（应为(-1,-1,1)ᵀ），扣1分。
• 正交化过程：β₂计算正确，单位化后的P矩阵第三列符号错误（应为(-1/√3, -1/√3, 1/√3)），扣1分。
• 得分：6 - 1 - 1 - 1 = 3分。

综合两次识别，最高得分为3分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

第1次识别：

• 正确写出Pᵀ[(a+3)E-A]P = diag(4,4,1)，并设D=diag(2,2,1)，思路正确。
• 但最终C矩阵计算错误（给出具体数值矩阵，但未正确推导），且未完成C的表达式，扣2分。
• 得分：6 - 2 = 4分。

第2次识别：

• 正确写出Pᵀ[(a+3)E-A]P = diag(4,4,1)，并设C=diag(2,2,1)，但未通过正交变换得到C=Pdiag(2,2,1)Pᵀ，仅给出对角矩阵，逻辑不完整，扣3分。
• 得分：6 - 3 = 3分。

综合两次识别，最高得分为4分。

题目总分：3+4=7分