2019年考研数学（二）考试试题 - 第12题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"(1/2)ln3"，这与标准答案"\(\frac{1}{2} \ln 3\)"在数学上是完全等价的。根据弧长公式，曲线 \(y=\ln \cos x\) 在区间 \([0, \frac{\pi}{6}]\) 上的弧长为：

\[ L = \int_0^{\pi/6} \sqrt{1+(y')^2}dx = \int_0^{\pi/6} \sqrt{1+\tan^2 x}dx = \int_0^{\pi/6} \sec x dx \]

计算得：

\[ L = \ln|\sec x + \tan x|\Big|_0^{\pi/6} = \ln\left(\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) - \ln(1+0) = \ln\sqrt{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \]

学生答案与标准答案完全一致，没有逻辑错误，思路正确，因此得满分4分。

题目总分：4分

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