评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确使用了一阶线性微分方程的求解公式，并正确计算了积分。在求解过程中，学生正确识别了积分因子为 \( e^{\int x dx} = e^{\frac{1}{2}x^2} \)，并正确计算了特解。利用初始条件 \( y(1) = \sqrt{e} \) 正确求出常数 \( C = 0 \)，最终得到正确解 \( y(x) = \sqrt{x} e^{\frac{x^2}{2}} \)。虽然第一次识别结果中在公式书写时出现了 \( e^{-xdx} \) 这样的不规范写法（应为 \( e^{-\int x dx} \)），但根据上下文可判断为识别误差，且后续计算正确，因此不扣分。本题得分为5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确应用了旋转体体积公式 \( V = \int_{1}^{2} \pi y^2(x) dx \)，并正确代入 \( y^2(x) = x e^{x^2} \)。在计算积分时，正确使用了换元法（令 \( t = x^2 \)）并正确计算了定积分，最终得到正确结果 \( \frac{\pi}{2}(e^4 - e) \)。虽然第一次识别结果中在积分表达式中出现了 \( \int_{1}^{2} e^{x^2} dx^2 \) 这样的不规范写法（应为 \( \int_{1}^{4} e^t dt \)），但根据上下文可判断为识别误差，且后续计算正确，因此不扣分。本题得分为5分。

题目总分：5+5=10分