评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生首先应用积分中值定理得出存在a∈(0,1)使得f(a)=1，这与已知条件f(1)=1结合，说明在区间[a,1]上函数值相等。但学生错误地认为f(0)=f(a)，实际上f(0)=0≠1=f(a)。不过学生正确应用了罗尔定理的思路，指出在区间[0,a]上存在ξ使得f'(ξ)=0，这是正确的逻辑。虽然表述有些混乱，但核心思路正确。考虑到识别误差可能影响表达，给4分。

（II）得分及理由（满分6分）

学生使用泰勒展开的方法是正确的思路，但在具体展开和后续推导上存在问题：

1. 泰勒展开式写为f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(ξ₁)/2·x²，其中ξ₁∈(0,x)，这是正确的
2. 令x=1得到f(1)=f(0)+f'(0)+f''(ξ₁)/2=1，这也是正确的
3. 但是学生没有继续完成证明，没有利用已知条件∫₀¹f(x)dx=1进行后续推导
4. 证明过程不完整，缺少关键步骤

由于思路正确但证明不完整，给3分。

题目总分：4+3=7分