评分及理由

（1）初始条件与关系建立（满分2分）

学生正确写出初始条件 y(0)=0, y'(0)=1，并正确建立 tanα=y' 和 y''=sec²α·dα/dx 的关系。此处无错误，得2分。

（2）微分方程推导（满分3分）

学生正确利用 dα/dx=y' 和 sec²α=1+tan²α=1+(y')²，推导出微分方程 y''=y'+(y')³。此处推导完整正确，得3分。

（3）微分方程求解（满分5分）

学生令 y'=p，y''=dp/dx，得到 dp/dx=p+p³，但在分离变量积分时出现错误：

• 正确积分应为 ∫dp/(p+p³)=∫dx
• 学生写为 ∫(1/p - p/(1+p²))dp = ∫dx + lnC₁，这里右边多出 lnC₁ 是错误形式
• 但学生最终得到 p/√(1+p²)=C₁e^x 是正确的（虽然推导过程有误）
• 后续利用初始条件确定常数和积分求 y(x) 的过程正确
• 最终答案 y(x)=arcsin(e^x/√2)-π/4 与标准答案等价

由于在求解过程中存在逻辑错误，扣2分，得3分。

题目总分：2+3+3=8分