评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答中，极坐标变换部分正确：正确识别了曲线方程在极坐标下的形式 \( r^2 = \cos 2\theta \)，并给出了积分区域 \( 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2} \)，以及极坐标下二重积分的正确形式 \( \iint_D xy \, dxdy = \int_0^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_0^{\sqrt{\cos 2\theta}} r^3 \sin\theta \cos\theta \, dr \)。

但在计算过程中出现逻辑错误：

• 从 \( \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2\theta \cdot [\cos 2\theta]^2 \, d\theta \) 到 \( \frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} [\sin 2\theta - (\sin 2\theta)^3] \, d\theta \) 这一步没有依据，是错误的恒等变换（实际上 \(\sin 2\theta \cdot \cos^2 2\theta \neq \sin 2\theta - \sin^3 2\theta\)）。
• 后续积分计算基于此错误展开，导致最终结果错误。

由于核心计算步骤存在逻辑错误，但极坐标变换和积分区域设置正确，给予部分分数。扣分依据：逻辑错误导致结果不正确，但思路前半部分正确。

得分：6分（满分12分）

题目总分：6分