评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在以下问题：

• 第一次识别中，学生错误地将 \(g(x)\) 写为 \(\int_{0}^{x} f(x + t) dt\)，而题目中为 \(\int_{0}^{1} f(xt) dt\)，这是一个关键性的逻辑错误，导致后续推导的基础错误。
• 第二次识别正确写出了 \(g(x) = \int_{0}^{1} f(xt) dt\)，并正确进行了变量代换 \(xt = u\)，得到 \(g(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(u) du\)（当 \(x \neq 0\)），且正确给出 \(g(0) = 0\)。
• 对于 \(g'(x)\) 的求解，当 \(x \neq 0\) 时，学生正确应用了商法则，得到 \(g'(x) = \frac{f(x)x - \int_{0}^{x} f(u) du}{x^2}\)，这与标准答案一致。
• 对于 \(g'(0)\) 的求解，学生正确使用了导数定义，并通过洛必达法则得到 \(g'(0) = \frac{1}{2}\)，过程正确。
• 在证明 \(g'(x)\) 在 \(x=0\) 处连续时，学生正确计算了 \(\lim_{x \to 0} g'(x) = \frac{1}{2} = g'(0)\)，但最后一句误写为“故 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 处连续”，应为 \(g'(x)\)，这是一个明显的笔误，根据禁止扣分规则，不扣分。

由于第一次识别存在关键逻辑错误，但第二次识别基本正确，且核心步骤（变量代换、导数计算、极限计算）均正确，仅在最后结论有笔误，故扣1分。

得分：9分

题目总分：9分