评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一次识别结果与第二次识别结果在极坐标变换部分基本一致，但在被积函数识别上存在差异。第一次识别正确识别为 \(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}\)，第二次识别误写为 \(\frac{\sqrt{x+y}}{x}\)。根据禁止扣分规则第2、4条，这种字符识别错误属于误写，不扣分。

学生正确建立了极坐标变换：区域D的边界 \(x=1\) 对应 \(r=\sec\theta\)，\(x=2\) 对应 \(r=2\sec\theta\)，角度范围 \(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}\)。被积函数 \(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} = \frac{r}{r\cos\theta} = \frac{1}{\cos\theta}\)，积分变为 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}d\theta\int_{\sec\theta}^{2\sec\theta}\frac{r}{\cos\theta}dr\)。

计算过程中：\(\int_{\sec\theta}^{2\sec\theta}\frac{r}{\cos\theta}dr = \frac{1}{\cos\theta}\cdot\frac{1}{2}[4\sec^2\theta - \sec^2\theta] = \frac{3}{2}\sec^3\theta\)，得到 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3}{2}\sec^3\theta d\theta\)，这与标准答案一致。

虽然学生只写到 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{3}{2\cos^3\theta}d\theta\) 就停止了，没有完成后续的积分计算，但题目要求计算二重积分，学生完成了主要的坐标变换和化简工作。考虑到这是考试题目，未完成全部计算应适当扣分。

扣分情况：主要计算步骤正确，但未完成最终积分计算，扣2分。

得分：8分

题目总分：8分