评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生将微分方程写为 \(f(x)+\frac{1}{a + x}f(x)=\frac{a}{a + x}\)，这是错误的，应为 \(f'(x)+\frac{1}{a + x}f(x)=\frac{a}{a + x}\)，但后续求解过程正确，得到 \(f(x)=\frac{1}{a + x}(ax + c)\)，并利用 \(f(0)=1\) 得出 \(c=a\)，最终给出 \(f(x)=\frac{a(x + 1)}{a + x}\)。第2次识别中，学生同样正确求解了微分方程并得到正确结果。由于第2次识别完全正确，且第1次识别中的错误可能为笔误（将 \(f'(x)\) 误写为 \(f(x)\)），根据“误写不扣分”原则，不扣分。因此，本小题得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

第1次识别中，学生正确计算了 \(f'(x)=\frac{a^{2}-a}{(a + x)^{2}}\)，但未讨论 \(a\) 的范围对单调性的影响，直接断言 \(f(x)\) 单调递增，而标准答案中需分 \(a>1\) 和 \(\frac{1}{2} \leq a < 1\) 两种情况讨论。此外，学生错误地写出 \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{a - a^{2}}{a + x_{n}}<0\)，这实际上是 \(\frac{a - x_{n}^{2}}{a + x_{n}}\) 的误写（第2次识别中已纠正），但未证明 \(a - x_{n}^{2} < 0\)，逻辑不完整。第2次识别中，学生正确推导了 \(x_{n+1}-x_{n}=\frac{a - x_{n}^{2}}{a + x_{n}}\)，但同样未证明 \(a - x_{n}^{2} < 0\)，且未分情况讨论单调性，直接得出单调递减，逻辑不严谨。然而，学生正确应用了单调有界准则，并通过取极限得到 \(t=\sqrt{a}\)。由于未分情况讨论单调性，扣2分；未证明 \(a - x_{n}^{2} < 0\)，扣1分。因此，本小题得3分。

题目总分：6+3=9分