评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案正确证明了方程 \( f(x) = 0 \) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在一个实根。具体理由如下：

• 正确指出 \( f(x) \) 在 \([0,1]\) 上连续（因为二阶可导）。
• 正确由极限 \(\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} < 0\) 推出存在 \( t_1 \in (0, \frac{1}{2}) \) 使得 \( f(t_1) < 0 \)，这利用了极限的保号性。
• 正确由 \( f(t_1) < 0 \) 和 \( f(1) > 0 \) 应用连续函数介值定理，得出存在 \( t_2 \in (t_1, 1) \) 使得 \( f(t_2) = 0 \)。

虽然表述与标准答案略有不同（例如标准答案使用 \(\delta\) 而学生使用 \( t_1 \)），但思路和逻辑完全正确，因此不扣分。得分为5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生答案中第二部分未写内容，即没有证明方程 \( f(x)f'(x) + (f'(x))^2 = 0 \) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在两个不同实根。因此，该部分得分为0分。

题目总分：5+0=5分