评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答存在多处逻辑错误：

• 第一步中假设 \(X_P = Y_P = a\) 并设 \(P(m, y(m))\) 后，给出的关系式 \(\frac{y(m)-a}{m} \cdot \frac{y(m)}{m-a} = -1\) 缺乏明确推导依据，与标准答案中通过切线、法线方程分别求截距的方法不一致，且该关系式本身未说明来源，属于逻辑错误。
• 第二步中对关系式两边求导时，未说明 \(a\) 是否为常数（实际上 \(a\) 依赖于 \(m\)，因为 \(X_P\) 和 \(Y_P\) 随点 \(P\) 变化），直接对 \(a\) 视为常数求导，导致后续推导出现根本性错误。
• 第三步中代入 \(y'(m) = \frac{y(m)-a}{m}\) 后得到复杂表达式，但随后未经合理推导直接假设 \(y(m) = m + a\)，这一假设缺乏依据，属于主观臆断。
• 最后利用 \(y(1)=0\) 得出 \(a=-1\) 并得到 \(y=x\)，但该结果与标准答案 \(\arctan(y/x) + \frac12 \ln(x^2+y^2)=0\) 不符，且未验证是否满足原条件 \(X_P=Y_P\)，说明整体推导过程存在严重逻辑缺陷。

由于整个解题思路存在根本性错误，且未得到正确方程，只能给予少量步骤分。

得分：2分（主要给予设点、利用已知条件 \(y(1)=0\) 的步骤分）

题目总分：2分