评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，通过变换 \( x = e^t \) 正确推导了 \( y' \) 和 \( y'' \) 的表达式，代入原方程后得到化简后的常微分方程 \( \frac{d^2y}{dt^2} - 9y = 0 \)，并正确求解特征方程得到通解 \( y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-3t} \)，再代回 \( x \) 得到 \( y(x) = C_1 x^3 + \frac{C_2}{x^3} \)。利用初始条件 \( y(1)=2, y'(1)=6 \) 正确解出 \( C_1=2, C_2=0 \)，最终得到 \( y(x)=2x^3 \)。整个过程逻辑清晰，计算正确，与标准答案一致。因此，本小题得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，将积分 \( \int_1^2 2x^3 \sqrt{4-x^2} \, dx \) 通过代换 \( t=x^2 \) 转化为 \( \int_1^4 t \sqrt{4-t} \, dt \)，再通过代换 \( u=4-t \) 转化为 \( \int_0^3 (4\sqrt{u} - u^{3/2}) \, du \)，并正确计算定积分得到 \( \frac{22\sqrt{3}}{5} \)。计算过程步骤完整，结果正确，与标准答案一致。因此，本小题得满分6分。

题目总分：6+6=12分