评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生正确写出了旋转体体积公式 \(V(t) = \pi \int_t^{2t} y^2 \, dx\)，并代入 \(y = \sqrt{x} e^{-x}\) 得到 \(V(t) = \pi \int_t^{2t} x e^{-2x} \, dx\)，这一步与标准答案一致，正确无误。

（2）得分及理由（满分12分）

学生通过分部积分法计算了积分，并得到了 \(V(t)\) 的显式表达式。虽然表达式形式与标准答案不同，但经过求导验证，其导函数 \(V'(t) = \pi t e^{-2t}(4e^{-2t} - 1)\) 与标准答案一致，说明表达式正确，不扣分。

（3）得分及理由（满分12分）

学生正确求导 \(V'(t)\)，解出驻点 \(t = \ln 2\)，并分析了单调性：当 \(0 < t < \ln 2\) 时 \(V'(t) > 0\)，当 \(t > \ln 2\) 时 \(V'(t) < 0\)，判断出 \(t = \ln 2\) 为最大值点，逻辑正确。

（4）得分及理由（满分12分）

学生代入 \(t = \ln 2\) 计算最大值，得到 \(V(\ln 2) = \frac{\pi}{16}(\ln 2 + \frac{3}{4})\)。标准答案为 \(\left( \frac{\ln 2}{16} + \frac{3}{64} \right)\pi\)，两者等价，因为 \(\frac{\pi}{16}(\ln 2 + \frac{3}{4}) = \frac{\pi \ln 2}{16} + \frac{3\pi}{64}\)，计算正确。

题目总分：12分