评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

第一次识别中，计算二阶偏导数时出现了错误：在计算 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\) 时，中间步骤有误写（出现了 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial y}\) 这样的项，应为 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}\)），但在最终代入方程时，错误项相互抵消，最终得到 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\) 是正确的。第二次识别中，所有偏导数计算正确，代入方程得到 \(25\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = 1\)，从而得出正确结果。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，本题逻辑正确，结果正确。但第一次识别中有明显的书写错误（如 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial y}\)），属于误写，不扣分。因此得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

第一次识别和第二次识别在本题中基本一致。由 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v} = \frac{1}{25}\) 积分得到 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{1}{25}v + \varphi(u)\)，利用条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 确定 \(\varphi(u) = ue^{-u}\)，再积分得到 \(f(u,v) = \frac{1}{25}uv - (u+1)e^{-u} + \Psi(v)\)，最后利用 \(f(0,v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\) 确定 \(\Psi(v) = \frac{1}{50}v^2 - 1\)，最终表达式正确。思路和计算均正确，得6分。

题目总分：6+6=12分