评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生使用泰勒展开的方法证明第一问，思路正确且与标准答案不同但有效。但在推导过程中存在以下问题：

• 在组合两个泰勒展开时，①·(1-x)+②·x的系数选择是合理的，但得到的表达式包含[f'(1)-f'(0)]x(x-1)项，而题目条件f'(0)=f'(1)未被明确使用来消去这一项。
• 在绝对值放缩时，直接对两项分别取绝对值相加，忽略了f″(ξ₁)和f″(ξ₂)可能符号相反导致相互抵消的可能性，这步放缩不够严谨。
• 计算x²(1-x)+(x-1)²x时，实际上就是x(1-x)，但学生写成了x²-x³+x³-2x²+x = x(1-x)，这步计算正确。

考虑到思路基本正确，主要逻辑步骤完整，但存在放缩不够严谨的问题，扣2分。得分：4分

（2）得分及理由（满分6分）

学生基于第一问的结论进行积分：

• 正确写出∫|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|dx ≤ ∫[x(1-x)/2]dx
• 正确计算积分值为1/12
• 正确使用积分绝对值不等式：∫|g(x)|dx ≥ |∫g(x)dx|
• 正确识别∫[f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x]dx = ∫f(x)dx - [f(0)+f(1)]/2

第二问推导完整正确，但由于第一问结论的证明存在瑕疵，且第二问依赖于第一问的结论，扣1分。得分：5分

题目总分：4+5=9分