评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中第1次识别结果给出了正确的展开思路：将二次型表示为矩阵形式，即 \( f = 2x^T(\alpha\alpha^T)x + x^T(\beta\beta^T)x = x^T(2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T)x \)，从而得到对应的矩阵为 \( 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T \)。这与标准答案中的矩阵形式一致（注意标准答案中写的是 \( 2\alpha^\top\alpha + \beta^\top\beta \)，实际上与 \( 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T \) 等价）。因此，该部分逻辑正确，思路清晰。但第2次识别结果中的矩阵表示错误，且出现无关内容（如“综上，a=-1,b=0”），但根据“禁止扣分”第5条，多余信息错误不扣分。综合两次识别，核心逻辑正确，故得满分5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中第1次和第2次识别结果均正确指出 \( A = 2\alpha\alpha^T + \beta\beta^T \)，并利用正交和单位向量条件计算了 \( A\alpha = 2\alpha \) 和 \( A\beta = \beta \)，从而得出特征值2和1。同时，通过秩的估计（\( r(A) \leq 2 \)）得出0也是特征值，进而说明标准形为 \( 2y_1^2 + y_2^2 \)。这些步骤与标准答案一致，逻辑正确。但第2次识别结果中存在一些混乱表述（如“AB = ...”、“β₁对应β”等），但未影响核心逻辑。根据“禁止扣分”第5条，多余信息不扣分。因此，该部分得满分6分。

题目总分：5+6=11分