评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生解答过程基本正确，但存在一处逻辑错误。在得到微分方程 \(y^2 - x^2 = 2xyy'\) 后，学生正确进行了变量代换 \(u = y/x\)，但在代入过程中，学生写出的步骤为：

“\(u^{2}-1 = 2u(u'x + u)\)”

这一步是正确的，但随后学生写为：

“\(-u^{2}-1 = x\cdot 2u\frac{du}{dx}\)”

这一步实际上应为：

\(u^2 - 1 = 2u^2 + 2xuu'\)，移项得 \(-u^2 - 1 = 2xuu'\)，即 \(2xuu' = -1 - u^2\)，所以 \(\frac{2u}{1+u^2}du = -\frac{1}{x}dx\)。

学生在第1次识别结果中写的是“\(\frac{2udu}{1 + u^{2}}=-\frac{1}{x}dx\)”，这是正确的；但在第2次识别结果中写的是“\(\frac{2udu}{1 + u^{2}}=-\frac{1}{x}dx\)”，也是正确的。因此，虽然中间步骤的表达式“\(-u^{2}-1 = x\cdot 2u\frac{du}{dx}\)”书写不够规范，但最终分离变量的结果正确，且后续积分、代入初始条件、求解曲线方程和极值的过程均正确。

考虑到学生最终得到了正确的曲线方程 \(y = x\sqrt{\frac{25}{4x}-1}\)（即 \(y^2 = \frac{25}{4}x - x^2\)）和极大值 \(y = \frac{25}{8}\)，且极值分析正确，仅中间步骤书写不够严谨，扣1分。

得分：11分

题目总分：11分