评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：4分

理由：

• 学生正确写出了二次型矩阵A，并计算了特征多项式，得到了特征值λ₁=2-a（二重）和λ₃=2a+2，这部分正确，得2分。
• 在求特征向量时，对于λ₁=2-a，学生给出的特征向量α₁=(-1,1,0)ᵀ和α₂=(0,-1,1)ᵀ是正确的线性无关特征向量，得1分。
• 对于λ₃=2a+2，学生给出的特征向量α₃=(1,1,1)ᵀ正确，得1分。
• 但学生在正交化过程中存在错误：对α₁和α₂进行正交化时，计算β₂的表达式有误，导致后续单位化向量错误，扣1分。
• 最后构造的正交矩阵Q的列向量顺序与标准答案不一致，但这是允许的，不扣分。
• 标准形表达式正确，得1分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：3分

理由：

• 学生正确理解f(x)=‖PX‖²意味着A=PᵀP，并由此得出A正定，得1分。
• 通过特征值正定条件正确得出a=1，得1分。
• 在构造P的过程中，思路正确：通过QᵀAQ=diag(1,1,4)，再构造对角矩阵R=diag(1,1,1/2)使得RᵀQᵀAQR=E，得1分。
• 但学生在计算P=R⁻¹Q⁻¹=R⁻¹Qᵀ时，给出的P矩阵表达式不完整且存在计算错误，扣2分。
• 最终P矩阵的表达式不完整且数值有误，扣1分。

题目总分：4+3=7分