评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是5，而标准答案是171。题目要求计算级数 \(\left(\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}\right)^{3}\) 中 \(x^{20}\) 的系数。该级数可以理解为三个几何级数的乘积，即 \((x + x^2 + x^3 + \cdots)^3\)，其收敛域为 \(|x| < 1\)。计算 \(x^{20}\) 的系数等价于求方程 \(n_1 + n_2 + n_3 = 20\) 的正整数解的数量，其中 \(n_1, n_2, n_3 \geq 1\)。通过组合数学，该数量为 \(\binom{20-1}{3-1} = \binom{19}{2} = 171\)。学生答案5与正确结果171相差甚远，表明计算存在严重逻辑错误或误解。因此，本题得0分。

题目总分：0分