评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 2/3，而标准答案是 1。我们需要分析学生的解题思路是否正确。

原题是求极限：

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}}}{\frac{1}{\sqrt{n+1}} + \frac{1}{\sqrt{n+2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n+3n}}} \]

分母中的求和上限是 \( n + 3n = 4n \)，所以分母是从 \( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \) 到 \( \frac{1}{\sqrt{4n}} \)，共有 \( 3n \) 项。

分子是前 \( n \) 项调和根和，可以用积分近似：

\[ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \approx \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n} - 2 \]

分母是：

\[ \frac{1}{\sqrt{n+1}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{4n}} \approx \int_n^{4n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{4n} - 2\sqrt{n} = 4\sqrt{n} - 2\sqrt{n} = 2\sqrt{n} \]

所以极限为：

\[ \frac{2\sqrt{n}}{2\sqrt{n}} = 1 \]

学生给出 2/3，可能是错误地认为分母是从 \( n+1 \) 到 \( 3n \)（即项数为 \( 2n \)），这样分母积分近似为：

\[ \int_n^{3n} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{3n} - 2\sqrt{n} = 2\sqrt{n}(\sqrt{3} - 1) \]

分子近似 \( 2\sqrt{n} \)，则极限为：

\[ \frac{2\sqrt{n}}{2\sqrt{n}(\sqrt{3} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{3} - 1} \neq \frac{2}{3} \]

因此，学生的答案 2/3 ...