评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确计算了 \(E - A\) 和特征向量 \(\alpha_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\)，得2分。

在求解 \(\alpha_2\) 时，学生得到 \(\alpha_2 = \begin{pmatrix}\lambda_1\\-1\\0\end{pmatrix}\)，与标准答案形式一致（其中 \(k_1 = \lambda_1\)），得1分。

在求解 \(\alpha_3\) 时，学生得到 \(\alpha_3 = \begin{pmatrix}\lambda_2\\-\lambda_1 - 1\\-1\end{pmatrix}\)，但标准答案为 \(\begin{pmatrix}k_2\\1 - k_1\\1\end{pmatrix}\)。学生的第三个分量为 \(-1\)，而标准答案为 \(1\)，这是一个符号错误，属于计算错误，扣1分。

学生写出 \(P = \begin{pmatrix}1&\lambda_1&\lambda_2\\0&-1&-\lambda_1 - 1\\0&0&-1\end{pmatrix}\)，并判断 \(r(P) = 3\) 可逆，但矩阵 \(P\) 的第三列第三行元素为 \(-1\)（应为 \(1\)），导致行列式值错误，但秩的判断正确（因为矩阵是上三角且对角线非零），不扣分。

本部分扣1分，得5分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确计算 \(|A| = 1\)，得1分。

学生计算 \(A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1&2\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}\)，但标准答案为 \(\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)（或直接求逆）。学生的 \(A^{-1}\) 第三列错误（第二行第三列应为 \(-1\)，第三行第三列应为 \(1\)，但学生写为 \(2, -1, 1\)），这是一个计算错误，扣1分。

学生计算 \(A + A^* = A + A^{-1} = \begin{p...