评分及理由

（1）得分及理由（满分5.5分）

第一次识别：

• 正确指出方程组有两个不同解时，有 \( r(A) = r(\overline{A}) < 3 \)。
• 行列式计算错误：矩阵A识别错误，行列式结果错误，但最终得到 \(\lambda = 1\) 或 \(-1\) 是正确的（尽管推导过程错误）。
• 当 \(\lambda = 1\) 时，判断无解正确。
• 当 \(\lambda = -1\) 时，增广矩阵变换错误，但得到 \(a = -2\) 正确。
• 最终答案 \(\lambda = -1, a = -2\) 正确。
• 扣分：行列式计算错误（逻辑错误）扣1分，增广矩阵变换错误（逻辑错误）扣1分。
• 得分：5.5 - 1 - 1 = 3.5分。

第二次识别：

• 正确指出方程组有两个不同解时，有 \( r(A) = r([A\ b]) < 3 \)。
• 特征多项式计算错误（\(|A - \lambda E|\) 错误），但得到 \(\lambda = -1\) 正确。
• 当 \(\lambda = -1\) 时，增广矩阵变换部分正确，得到 \(a = -2\) 正确。
• 最终答案 \(\lambda = -1, a = -2\) 正确。
• 扣分：特征多项式计算错误（逻辑错误）扣1分。
• 得分：5.5 - 1 = 4.5分。

取两次识别最高分：4.5分。

（2）得分及理由（满分5.5分）

第一次识别：

• 增广矩阵变换错误，但得到特解 \((\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)^T\) 和基础解系 \((1, 0, 1)^T\) 正确。
• 通解形式正确。
• 扣分：增广矩阵变换错误（逻辑错误）扣1分。
• 得分：5.5 - 1 = 4.5分。

第二次识别：

• 增广矩阵变换部分正确，得到特解 \((\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)^T\) 和基础解系 \((1, 0, 1)^T\) 正确。
• 通解形式正确。
• 扣分：增广矩阵变换不完全正确（逻辑错误）扣0.5分。
• 得分：5.5 - 0.5 = 5分。

取两次识别最高分：5分。

题目总分：4.5+5=9.5分