评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答与标准答案基本一致，思路正确，计算过程完整。具体分析如下：

• 正确计算了所有偏导数：一阶和二阶偏导数的表达式与标准答案一致。
• 正确代入拉普拉斯方程并化简：得到方程 \((1 + r^2)\varphi''(r) + 2r\varphi'(r) = 0\)，与标准答案一致。
• 正确求解微分方程：通过变形为 \([(1 + r^2)\varphi'(r)]' = 0\) 并积分，得到 \((1 + r^2)\varphi'(r) = C_1\)，方法正确且简洁。
• 正确利用初始条件：代入 \(\varphi'(1) = 1\) 得到 \(C_1 = 2\)，代入 \(\varphi(1) = 0\) 得到 \(C_2 = -\frac{\pi}{2}\)，最终结果正确。

尽管学生作答中存在一些识别问题（如“\(\varphi'(1)=(代入得\)”中的括号不匹配），但根据上下文可判断为误写，不影响核心逻辑。因此，不扣分。

得分：12分

题目总分：12分