评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确识别了特征值（λ₁=λ₂=1，λ₃=4）和特征向量α₃=(1,1,1)ᵀ。选取了与α₃正交的特征向量α₁=(1,-1,0)ᵀ和α₂=(1,1,-2)ᵀ，并进行了单位化。虽然学生给出的正交矩阵Q的具体形式与标准答案略有不同（例如γ₂和γ₃的分母和元素顺序），但最终计算出的矩阵A = [[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]]与标准答案一致。这表明核心逻辑和计算是正确的。考虑到可能存在识别误差（如矩阵元素符号、分母等细节），这些不影响最终结果，因此不扣分。得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生错误地将二次型f(x₁,x₂,x₃)直接写为XᵀAX（第2次识别结果中明确写出），这是一个根本性的逻辑错误，因为题目中f的定义是一个行列式，而非简单的二次型形式。在后续计算中，学生试图通过行列式操作进行化简，但步骤混乱且不完整（例如出现了“A - λE”等未定义的符号，行列式展开过程不清晰）。尽管最终得到了标准形y₁²+y₂²+4y₃²（与标准答案一致），但这是基于错误的前提（误以为f=XᵀAX）和混乱的推导得出的，不能视为正确。由于核心思路错误，扣6分。得0分。

题目总分：6+0=6分