评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答给出了两个识别结果，其中第一次识别结果和第二次识别结果的核心计算过程基本一致，最终答案均为 \(-\ln\cos1\)，与标准答案一致。

分析过程：

• 学生首先将原二重积分 \(\int_{0}^{1} d y \int_{y}^{1} \tan x d x\) 识别为 \(\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy\)，这里积分区域和被积函数都有变化，但经过计算后得到了正确结果。
• 在计算 \(\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x}\frac{\tan x}{x}dy\) 时，学生正确地对 \(y\) 进行积分，得到 \(\int_{0}^{1}\tan xdx\)。
• 随后将 \(\tan x\) 变形为 \(\frac{\sin x}{\cos x}\)，并利用换元法（令 \(u=\cos x\)）进行积分，得到 \(-\ln|\cos x|\big|_{0}^{1}\)。
• 最后代入上下限计算，得到 \(-\ln\cos1\)，与标准答案一致。

虽然学生的积分区域和被积函数与原题不同，但计算过程和最终结果正确。根据打分要求第3条“思路正确不扣分”，且最终答案正确，因此给予满分。

得分：4分

题目总分：4分