评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生作答中，两次识别结果都试图证明方程 \( f(x) = 0 \) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在一个实根。标准答案的关键步骤包括：利用极限保号性得到 \( f(x) < 0 \) 在 \((0,\delta)\) 内，结合 \( f(1) > 0 \) 和零点定理证明存在零点。

学生作答中，第一次识别提到 \( f(1) \geq 0 \)（应为 \( f(1) > 0 \)，但识别可能误写，不扣分），并正确使用极限保号性（脱帽法）得到存在 \( x_0 \) 使 \( f(x_0) < 0 \)，但错误得出 \( f(0) = 0 \)（标准答案未直接给出此结论，且此处逻辑跳跃，因为极限条件不足以直接推出 \( f(0) = 0 \)，但学生后续使用罗尔定理时假设了 \( f(0) = 0 \)，这是不合理的）。此外，学生错误应用罗尔定理（应使用零点定理），导致逻辑错误。第二次识别类似，但极限条件写为等于0（与题目矛盾），且同样错误应用罗尔定理。

由于核心逻辑错误（误用罗尔定理代替零点定理，且错误假设 \( f(0) = 0 \)），但思路部分正确（识别到 \( f(x_0) < 0 \) 和 \( f(1) > 0 \)），扣3分。得分：2分。

（II）得分及理由（满分5分）

学生作答未涉及第二部分证明，因此无法得分。标准答案需构造 \( F(x) = f(x)f'(x) \) 并应用罗尔定理证明存在两个不同实根。

得分：0分。

题目总分：2+0=2分