评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答存在多处逻辑错误：

• 第一次识别中，将\(\iint_D (x^2+2x+1)dxdy\)简化为\(\iint_D (x^2+1)dxdy\)时，错误地忽略了\(2x\)项，未说明对称性理由（虽然区域确实关于y轴对称，但未说明）。
• 第一次识别中，极坐标转换时错误地将\(x^2\)写为\(r^2\cos\theta\)（应为\(r^2\cos^2\theta\)）。
• 第二次识别中，虽然正确写出\(x^2 = r^2\cos^2\theta\)，但在积分过程中错误地将\(\cos^2\theta\)写为\(\cos\theta\)（步骤4中\(\int r^3\cos\theta dr\)应为\(\int r^3\cos^2\theta dr\)）。
• 两次识别均错误计算积分：第一次得到\(\pi\)，第二次也得到\(\pi\)，但正确答案为\(\frac{5\pi}{4}\)。
• 步骤拆分混乱，如第二次识别步骤4中错误合并积分项。

由于核心计算过程存在根本性错误，且最终答案错误，扣分较多。但考虑到：

• 正确识别了区域D的极坐标范围（\(r \leq 2\sin\theta, \theta \in [0,\pi]\)）
• 正确进行了极坐标变换的基本形式
• 正确识别了区域面积为\(\pi\)（虽然未明确写出）

给予基础思路分。扣分：区域对称性应用不严谨扣1分，极坐标转换错误扣2分，积分计算错误扣3分，最终答案错误扣2分。

得分：11 - 1 - 2 - 3 - 2 = 3分

题目总分：3分