评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答整体思路正确，从切线、法线方程出发，正确得到交点坐标并利用条件 \(X_P = Y_P\) 建立微分方程。在求解微分方程时，正确使用变量代换 \(u = y/x\)，并进行分离变量积分。最终得到的结果 \(\arctan\frac{y}{x} + \frac{1}{2}\ln(\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) + \ln x = 0\) 与标准答案 \(\arctan \frac{y}{x} + \frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2) = 0\) 等价（因为 \(\frac{1}{2}\ln(\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) + \ln x = \frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2)\)）。

但存在以下问题：

• 在第一次识别中，有一步写为 \(ky_0 + kx_0 = y_0 - x_0\)，这步推导有误（应为 \(y_0 - kx_0 = x_0 + ky_0\) 推得 \(k = \frac{y_0 - x_0}{y_0 + x_0}\)），但后续正确得到 \(k = \frac{y - x}{y + x}\)，可能是书写或识别错误，且未影响后续，故不扣分。
• 在第二次识别中，步骤更清晰，但最终结果形式与标准答案略有不同，实质等价，不扣分。

因此，扣1分，主要因为第一次识别中逻辑推导步骤有误，但整体正确。

题目总分：10分