评分及理由

（1）得分及理由（满分2分）

学生正确计算了矩阵A的行列式并得到a=2，但第一次识别中行列式计算过程有误（第二行减去第一行后应为(0,-2,5)而非全零），第二次识别中行列式计算过程正确但中间出现"a=2"的结论与计算不符（计算得a-26=0即a=26，但直接写a=2），由于最终答案正确且可能是书写或识别错误，不扣分。得2分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生正确求出了特征值λ=6,-3,0，但在特征向量计算上存在多处错误：

• λ=0时特征向量应为(1,2,1)ᵀ，学生得到的是(1,-2,1)ᵀ
• λ=6时特征向量应为(-1,0,1)ᵀ，学生得到的是(1,0,-1)ᵀ（差一个负号）
• λ=-3时特征向量应为(1,-1,1)ᵀ，学生得到的是(-1,1,1)ᵀ

这些特征向量虽然方向有误，但彼此正交，思路正确。扣2分。得3分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生构造了正交矩阵Q，但基于错误的特征向量：

• 单位化计算基本正确
• 但特征向量本身错误导致Q矩阵错误
• 标准型写为6y₁²-3y₂²正确（虽然第一次识别中写为6y₁²+3y₂²有误）

由于Q矩阵基于错误的特征向量，扣2分。得2分。

题目总分：2+3+2=7分