评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 + 2\)，而标准答案是 \(3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4\)。

首先，学生答案中的分数形式（二分之三、二分之五）可以转换为标准数学符号 \(\frac{3}{2}\) 和 \(\frac{5}{2}\)，但整体表达式与标准答案不一致。标准答案是一个隐式方程，而学生答案是一个表达式，未明确等于某个常数，这可能表示学生试图给出通解或特解的形式，但未正确应用初始条件 \(y(1) = 1\)。

其次，从微分方程 \((2y - 3x)dx + (2x - 5y)dy = 0\) 出发，这是一个恰当微分方程。验证其恰当性：设 \(M = 2y - 3x\)，\(N = 2x - 5y\)，则 \(\frac{\partial M}{\partial y} = 2\)，\(\frac{\partial N}{\partial x} = 2\)，相等，故为恰当微分方程。求解时，需找到势函数 \(F(x, y)\) 使得 \(F_x = M\) 和 \(F_y = N\)。积分 \(F_x = M\) 得 \(F = 2xy - \frac{3}{2}x^2 + h(y)\)，再求导 \(F_y = 2x + h'(y) = N = 2x - 5y\)，得 \(h'(y) = -5y\)，积分得 \(h(y) = -\frac{5}{2}y^2 + C\)，因此通解为 \(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 = C\)。应用初始条件 \(y(1) = 1\)：代入得 \(2(1)(1) - \frac{3}{2}(1)^2 - \frac{5}{2}(1)^2 = C\)，计算得 \(2 - 1.5 - 2.5 = -2\)，所以 \(C = -2\)，即特解为 \(2xy - \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}y^2 = -2\)。学生答案中写的是 \(+2\)，而非 \(-2\)，且未写成等式形式，这表示计算错误或表达不完整。

此外，标准答案 \(3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4\)...